按位操作符(Bitwise operators) 的计算主要用在二进制中,虽然平时很少有机会用到按位操作符,但不得不承认,在某些时候,这些操作符能够给我们提供很好的解决方案。

1. 概述

按位操作符(Bitwise operators) 的计算主要用在二进制中,虽然平时很少有机会用到按位操作符,但不得不承认,在某些时候,这些操作符能够给我们提供很好的解决方案。

下面介绍操作符时,也会提供一些比较经典的例子,来看看它们是如何巧妙地解决问题的吧。

2. 正文

2.1 二进制

本文假设你知道计算机中用二进制数来存储,计算数字,并且熟悉二进制数的表示方法。

讲解位操作符之前,先简单讲一下真值、原码、反码和补码。

2.1.1 真值

我们表示自然数包括正数,负数和0,下面是1和-1的二进制表示:

+ 00000001 # +1
- 00000001 # -1

2.1.2 原码

但是计算机只能存储0和1,不能存储正负,所以一个数的最高位存放符号,正数为0,负数为1,用后面七位来表示真值的绝对值:

0 0000001 # +1
1 0000001 # -1

由于10000000表示为 -0 ,这个没有意义,所以这个数字被用来表示 -128,所以负数就比整数多一个。

2.1.3 反码

反码的表示方法是:正数不变,负数是在其原码的基础上,符号位不变,其余位取反:

0 0000001 # +1
1 1111110 # -1

2.1.4 补码

补码的作用主要是为了简化运算,将减法变为加法而发明的数学表示法,其表示方法是:正数不变,负数是在其反码的基础上+1:

0 0000001 # +1
1 1111111 # -1

2.1.5 最后

[+1] = [0000 0001]原 
     = [0000 0001]反
     = [0000 0001]补
--------------------
[-1] = [1000 0001]原
     = [1111 1110]反
     = [1111 1111]补

2.2. 按位逻辑操作符

从概念上讲,按位逻辑操作符遵循下面规则:

  • 操作数被转换成32位整数,用比特序列(0和1组成)表示。超过32位的数字会被丢弃。

  • 第一个操作数的每个比特位与第二个操作数的相应比特位匹配:第一位对应第一位,第二位对应第二位,以此类推。

  • 位运算符应用到每对比特位,结果是新的比特值。

下面开始讲解各种位操作符。

注意:

前面提到操作会被转换成32位整数,但为了简化,将使用8位整数来演示运算过程。

2.2.1 AND(与)

对每一对比特位执行与(AND)操作。只有 a 和 b 都是 1 时,a AND b 才是 1。与操作的真值表如下:

a b a AND b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

下面展示11 & 14的运算过程:

11 = 0000 1011
14 = 0000 1110
     0000 1010 = 10

注意:

  • 任何数和 0 进行 AND 都为0:x & 0 = 0
  • 任何数和 -1 进行 AND 都为自身:x & -1 = x

例子1(判断一个数的奇偶):

// n & 1 === 0
console.log( 2 & 1 ) // 0
console.log( 3 & 1 ) // 1
/*
原因:所有偶数的最低位都是0,所有奇数的最低位都是1。
实例1:
    16 = 10000
    1 =  00001
         00000 = 0    
实例2:
    15 = 1111
    1 =  0001
         0001 = 1             
*/

例子2(判断一个数是否为2的整数幂):

// n & (n-1) === 0
console.log( 4 & ( 4 - 1 ) ) // 0
console.log( 5 & ( 5 - 1 ) ) // 4
/*
原因:如果是2的幂,n 一定是 100...,而 n-1 一定是 111...
实例1:
    16 = 10000
    15 = 01111
         00000 = 0    
实例1:
    15 = 1111
    14 = 1110
         1110 = 14             
*/

2.2.2 OR(或)

对每一对比特位执行或(OR)操作。只有 a 或者 b 中至少有一位是 1 时, a OR b 才为 1。或操作的真值表:

a b a OR b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

下面展示11 | 14的运算过程:

11 = 0000 1011
14 = 0000 1110
     0000 1111 = 15

注意:

  • 任何数和 0 进行 OR 都为自身:x | 0 = x
  • 任何数和 -1 进行 OR 都为 -1:x | -1 = -1

2.2.3 XOR(异或)

对每一对比特位执行异或(XOR)操作。当 a 和 b 不相同时,a XOR b 的结果为 1。异或操作真值表:

a b a XOR b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

下面展示11 ^ 14的运算过程:

11 = 0000 1011
14 = 0000 1110
     0000 0101 = 5

注意:

  • 任何数和 0 进行 XOR 都为自身:x ^ 0 = x
  • 任何数和 -1 进行 OR 都为 ~x:x | -1 = ~x

例子1(不用临时变量交换两个数):

var a = 10, b = 20
a ^= b
b ^= a
a ^= b
console.log(a,b) // 20,10
/*
原因(公式):
    20 ^ 10 = 30 # c = a ^ b
    30 ^ 20 = 10 # b = c ^ a
    30 ^ 10 = 20 # a = c ^ b
实例:
    a = 01010
    b = 10100
    c = 11110 # a ^ b的结果,其中的1是 a 和 b 中不同的部分 
    d = 01010 # b ^ c的结果,有没有发现和a是一样的
    e = 10100 # c ^ d的结果,有没有发现是b是一样的

    a = a ^ b # 得到c 11110
    b = b ^ a # 得到d 01010
    a = a ^ b # 得到e 10100
*/

例子2(找到数组中出现奇数次的元素):

// 一个非空数组,只有一个元素出现奇数次,其余出现偶数次,找出那个元素:
var arr = [1,1,2,3,3]
var res = 0
for (var i=0; i<arr.length; i++){
    res ^= arr[i]
}
console.log(res) // 2
/*
   任何一个数字异或它自己都等于0。也就是说,如果我们从头到尾依次异或数组中的每一个数字,
   那么最终的结果刚好是那个只出现奇数次的数字,因为那些出现偶数次的数字全部在异或中抵消掉了。
*/

2.2.4 NOT(非)

对每一个比特位执行非(NOT)操作。NOT a 结果为 a 的反转(即反码)。非操作的真值表:

a NOT a
0 1
1 0

下面展示~11的运算过程:

11 = [0000 1011‬]原
   = [0000 1011‬]反
   = [‭0000 1011]补 # 将操作数转成补码
 -----------------------------
     [‭0000 1011]补
   = [1111 0100]补 # 然后按位取反
 -----------------------------
     [1111 0100]补 
   = [1111 0011]反
   = [1000 1100]原 # 转成原码
   = -12

接着展示~-11的运算过程:

-11 = [1000 1011‬]原
    = [1111 0100‬]反
    = [‭1111 0101]补 # 将操作数转成补码
 -----------------------------
      [‭1111 0101]补
    = [0000 1010]补 # 然后按位取反
 -----------------------------
      [0000 1010]补 
    = [0000 1010]反
    = [0000 1010]原 # 转成原码
    = 10

注意:

  • 对任何数 x 进行 NOT 操作的结果为 -(x + 1),~x = -(x+1)

2.3 按位移动操作符

按位移动操作符有两个操作数:第一个是要被移动的数字,而第二个是要移动的长度。移动的方向根据操作符的不同而不同。

按位移动会先将操作数转换为高位字节顺序的32位整数,并返回与左操作符相同的类型。右操作数小于32位,否则只有最低5个字节会被使用。

2.3.1 <<(左移)

该操作数会将第一个操作数向左移动指定的位数。向左被移出的位被丢弃,右侧用0补充。

下面展示11<<2的运算过程:

11 = [0000 1011]原
   = [0000 1011]反
   = [0000 1011]补
---------------------------------   
      0000 1011
   00 0010 1100 # 向左移2位,用0补充
      1101 0100 # 被移出的位被丢弃
---------------------------------      
     [1101 0100]补
   = [1101 0011]反
   = [1010 1100]原 # 转成原码
   = -44

接着是-11<<2的运算过程:

11 = [1000 1011]原
   = [1111 0100]反
   = [1111 0101]补
---------------------------------   
      1111 0101
   11 1101 0100 # 向左移2位,用0补充
      1101 0100 # 被移出的位被丢弃
---------------------------------      
     [1101 0100]补
   = [1101 0011]反
   = [1010 1100]原 # 转成原码
   = -44

注意:

  • 在数字 x 上左移 y 位得到 x * 2y:x << y === x * pow(2,y)

例子:

// 1.获得 int 型最大值
console.log(  ~(1 << 31) ) // 2147483647
// 2.获得 int 型最小值
console.log( 1 << 31 ) // -2147483648
// 3.乘以2的m次方
console.log( 1 << 10, 1 * Math.pow(2,10) ) // 1024,1024

2.3.2 >>(有符号右移)

该操作符会将第一个操作数向右移动指定的位数。向右被移出的位被丢弃,拷贝最左侧的位以填充左侧。由于新的最左侧的位总是和以前相同,符号位没有被改变。所以被称作“符号传播”。

下面展示11>>2的运算过程:

11 = [0000 1011]原
   = [0000 1011]反
   = [0000 1011]补
---------------------------------   
      0000 1011
      0000 0010 11 # 向右移2位,填充最左侧的值
      0000 0010 # 被移出的位被丢弃
---------------------------------      
     [0000 0010]补
   = [0000 0010]反
   = [0000 0010]原 # 转成原码
   = 2

接着是-11>>2的运算过程:

11 = [1000 1011]原
   = [1111 0100]反
   = [1111 0101]补
---------------------------------   
      1111 0101
      1111 1101 01 # 向右移2位,填充最左侧的值
      1111 1101 # 被移出的位被丢弃
---------------------------------      
     [1111 1101]补
   = [1111 1100]反
   = [1000 0011]原 # 转成原码
   = -3

例子:

// 1.求两个整数的平均值(结果有小数点时抛弃小数点)
console.log(  (1 + 4) >> 1 ) // 2
// 2.除以2的m次方
console.log( 1 >> 10, 1 * Math.pow(2,10) ) // 1024,1024

2.3.3 >>>(无符号右移)

该操作符会将第一个操作数向右移动指定的位数。向右被移出的位被丢弃,左侧用0填充。因为符号位变成了 0,所以结果总是非负的。(译注:即便右移 0 个比特,结果也是非负的。)

对于非负数,有符号右移和无符号右移总是返回相同的结果。例如:11 >> 2 === 11 >>> 2

而对于负数却不尽相同,下面展示-11>>>2的运算过程(这里需要用到的位数较多,所以用32位整数演示):

-11 = [‭1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1011]原
    = [‭1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0100]反
    = [‭1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0101]补
-----------------------------------------------------
       ‭1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0101
       0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 01 # 向右移2位,左侧填充0
       0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 # 被移出的位被丢弃
-----------------------------------------------------
      [0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101]补
    = [0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101]补
    = [0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101]原 # 转成原码
    = 1073741821   

3. 参考资料